Cari Tahu Pengertian dan Contoh Soal Induksi Matematika Berikut Ini

Matematika merupakan cabang ilmu yang tentunya sudah tidak asing lagi karena hampir setiap aspek kehidupan manusia memerlukan bantuan dari ilmu hitung menghitung yang satu ini.

Terdapat banyak sekali pembahasan serta materi yang ada pada matematika dan sering kali memang bisa membuat kepala berkunang-kunang mengingat banyaknya rumus yang digunakan untuk memecahkan soal yang ada.

Salah satu pembahasan yang cukup menarik dalam cabang ilmu matematika adalah induksi matematika.

Induksi matematika adalah cara penalaran yang mempunyai sifat deduktif dan digunakan sebagai pembuktian universal sehubungan dengan pernyataan matematika tertentu, semacam metode pembuktian absah untuk membuktikan pernyataan matematika apakah benar atau salah.

Beberapa contohnya seperti kombinatorika, teori bilangan, hingga teori graf.

Pada dasarnya, prinsip induksi matematika dapat diterangkan secara umum, yaitu induksi dasar dan asumsi induktif.

Dalam praktiknya, induksi matematika memerlukan ketelitian tersendiri, walaupun tampak cukup sederhana.

Untuk bisa memahami induksi matematika secara menyeluruh, akan jauh lebih baik jika menyimak contoh soal induksi matematika beserta pembahasannya.

Lalu, apa sebenarnya pengertian dari induksi matematika? Bagaimana contoh soal dan jawabannya? Simak penuturannya berikut ini.

Pengertian Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan salah satu metode pembuktian dalam matematika yang biasanya dipakai untuk membuktikan pernyataan khusus yang mengandung bilangan asli.

Pembuktian dengan memakai induksi matematika dapat menghasilkan kesimpulan yang bersifat umum.

Induksi matematika dalam ilmu matematika adalah sebuah dasar aksioma untuk beberapa teorema yang melibatkan bilangan asli.

Pembuktian suatu statement matematika menggunakan induksi matematika dilakukan pada objek matematika yang memiliki sifat diskrit, seperti teori graf, teori bilangan, dan kombinatorika.

Prinsip dalam induksi matematika bisa diterangkan secara umum dalam dua tahap, yaitu asumsi induktif dan langkah induksi dasar.

Pemakaian induksi matematika umumnya dilakukan pada tiga jenis problem matematika, yaitu habis dibagi, seri umum, dan ketidaksetaraan.

Hasil pembuktian induksi matematika yang benar ditentukan berdasarkan tingkat pemahaman konsep.

Masing-masing prosedur induksi matematika yang dipakai dalam suatu konsep matematika bisa ditentukan lewat pemahaman relasional.

Rumus induksi matematika adalah sebagai berikut:

Perlihatkan jika pernyataan benar untuk n = 1.

Asumsikan pernyataan benar untuk n = k.

Tunjukkan jika n = k + 1 juga benar.

Apabila ketiga langkah di atas benar, bisa disimpulkan pernyataan contoh soal induksi matematika adalah benar untuk setiap n bilangan asli.

Contoh Soal Induksi Matematika

Buktikan bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n² . Untuk n bilangan asli.

Pembahasan:

Misalkan P(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = 2²

Langkah 1:

P(n) = 2n – 1 = n²

Untuk n = 1, maka 2(1) – 1 = 1² 1 = 1

Jadi, pernyataan benar untuk n = 1

Langkah 2:

Akan dibuktikan implikasi P(k) benar 🡺 P(k + 1) benar P(k) = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k – 1) k²

Untuk P (k + 1) berlaku:

= 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1)

= 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2k + 2 – 1)

= 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2k + 1) = k² + (2k + 1) = k² + 2 k + 1

Ingat: (a + 1)² = a² + 2a + 1

Maka = k² + 2k + 1 = (k + 1)²

Jadi, menurut (1) dan (2) bisa ditarik kesimpulan jika P(n) benar untuk n bilangan asli.

Supaya dapat lebih memahami berbagai macam rumus matematika, maka Buku Saku: Hafal Mahir Teori dan Rumus Matematika bisa dijadikan pegangan yang pas untuk menemani proses belajar.

Buku ini berisi ringkasan materi matematika SMA/MA mulai dari kelas 10 sampai kelas 12; info penting tambahan tentang materi matematika yang mesti diketahui; contoh soal dan pembahasan soal-soal untuk menambah pemahaman mengenai materi matematika; serta latihan soal dan pembahasan untuk melatih pemahaman mengenai materi matematika.

Dapatkan bukunya di Gramedia.com.